1회의 시행에서 나올 수 있는 성공 횟수는 1 아니면 0인데, X=1일 확률은 성공 확률과 같으므로 p이고 , X=0일 확률은 실패 확률과 같으므로 1-p가 된다.
###베르누이 확률변수의 평균, 분산###
평균값 E(x) = p
분산값 Var(X) = p(1-p)
이항분포 (Binomial Distribution)
정의 : 성공 확률이 일정(p)한 n회의 베르누이 시행에서 나오는 성공 횟수 X의 확률 분포
표기 : X~B(n,p)
확률질량함수: 확률질량함수
n번의 독립시행에서 x번의 성공과 (n-x)번의 실패가 발생
이들이 발생하는 순서의 조합의 수는 nCx이고 , x번 성공, (n-x)번 실패할 확률의 곱을 통해 위와 같은 식을 얻을 수 있다.
###이항분포의 평균,분산 ###
#각각 베르누이 평균,분산 * n
평균 E(x) = np
분산 Var(x) = np(1-p)
5.3 초기하분포 (이항분포 확장)
Hypergeometric Distribution
정의 : 두 가지 특성(예:성공, 실패)을 갖는 개체들로 구성된 크기 N인 유한모집단에서 일정한 개수(n)의 표본을 비복원추출 했을 때, '성공'의 개수를 X라 하면 X는 초기하분포를 따른다.
크기 N인 유한모집단이 r개의 '성공'과 (N-r)개의 '실패'로 구성되어 있다고 하자, 여기서 n개의 표본을 비복원 추출 했을 때, x개의 성공이 나올 확률은 다음과 같다.
### 초기하분포의 평균과 분산 구하기###
5.4 포아송분포
정의 : 일정한 단위에서 발생한 희소한 사건 수 X의 확률분포
이항분포에서 시행 횟수 n은 점점 증가시키고 성공 확률 p는 점점 감소시키되, 평균 np를 일정한 값 λ로 유지시키면 포아송분포를 얻는다.
###포아송분포의 평균과 분산###
5.5 기하분포
Geometric Distribution
정의 : 성공 확률이 일정한 시행에서 첫 번째 성공이 발생할 때까지 시행한 횟수 X의 확률분포
한 번의 시행에서 성공 확률이 p인 경우, 첫 번째 성공이 발생할 때까지 시행하는 독립시행의 횟수를 X라 하면 확률변수 X는 다음과 같은 기하분포를 따른다 (X ~G(p)로 표기함). x번째 시행에서 첫 번째 성공이 발생하려면 그 이전의 x-1번의 시행에서 연속해서 '실패'가 나와야 하고 마지막 시행에서 '성공'이 나와야 하기 때문이다.
### 기하분포의 평균과 분산 ###
평균
###분산###
분산
5.6 음이항 분포
Negative Binomial Distribution (기하분포 확장)
정의 : 성공 확률이 일정한 시행에서 주어진 성공의 횟수가 발생할 때까지 시행한 횟수 X의 확률분포
기하분포의 개념을 보다 일반화해서 r번째 성공이 발생할 때까지 시행하는 독립시행의 횟수를 X라 하면 확률변수 X는 다음과 같은 음이항분포를 따른다
x번째 시행에서 r번째 성공이 발생하려면 그 이전의 x-1번의 시행에서 r-1번의 '성공'이 나와야 하고 (음이항분포에서 r=1이면 기하분포가 됨)
##예시(음이항 분포)##
5.7 다항분포 (이항분포 확장 - 성공/실패 뿐만 아니라 다른 속성도 포함)
Multinomial Distribution
정의 : 다수의 속성을 가지는 개체로 구성된 무한모집단에서, 일정 개수의 표본을 취득 시 각 속성을 갖는 개체 수들의 확률분포
K개의 속성이 존재하고 각 속성의 비율이 p1,p2...Pk인 무한모집단에서 n개의 표본을 추출한 경우, 각 속성이 나오는 개수에 대한 확률변수들을 X1,X2,...Xk라 하면 이들은 다항분포를 따른다. #pi는 하나의 속성이 가지는 비율
